Luyện Tập Bài Tập Toán Học
Rèn luyện tư duy trắc nghiệm và tự luận với lời giải chi tiết và công thức Toán hiển thị chuẩn KaTeX.
Cho dây cung \(AB\) không qua tâm của \((O)\). Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(AB\) cắt tiếp tuyến tại \(A\) ở \(C\). Để chứng minh \(CB\) là tiếp tuyến của \((O)\), ta chứng minh góc \(\widehat{OBC}\) bằng bao nhiêu độ?
• Theo Định lí 1: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\) khi nó đi qua \(B \in (O)\) và vuông góc với bán kính \(OB\), tức là \(\widehat{OBC} = 90^\circ\).
• Do \(\triangle AOC = \triangle BOC\) nên \(\widehat{OBC} = \widehat{OAC} = 90^\circ\).
Cho hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) của đường tròn \((O)\) (\(A, B\) là hai tiếp điểm). Mối quan hệ hình học giữa đoạn thẳng \(OM\) và đoạn thẳng \(AB\) là:
• Do \(MA = MB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và \(OA = OB = R\), cả hai điểm \(O\) và \(M\) đều cách đều hai mút \(A, B\).
• Do đó đường thẳng \(OM\) chính là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), suy ra \(OM \perp AB\).
Cho hai tiếp tuyến \(MA, MB\) của đường tròn \((O; R)\) với bán kính \(R = 2\text{ cm}\) và khoảng cách \(MO = 4\text{ cm}\). Độ dài đoạn tiếp tuyến \(MA\) bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\) cách nhau \(6\text{ cm}\). Trên đường thẳng \(b\) đặt tâm của 4 hình tròn có bán kính lần lượt là \(4\text{ cm}, 6\text{ cm}, 7\text{ cm}\) và \(8\text{ cm}\). Có bao nhiêu hình tròn che khuất một phần (cắt) đường thẳng \(a\)?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho đường tròn \((O)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\). Kẻ đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với cạnh đáy \(BC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho góc \(xOy\) có tia phân giác \(Ot\). Lấy điểm \(A \in Ox, B \in Oy\) sao cho \(OA = OB\). Qua \(A\) kẻ đường vuông góc với \(Ox\) cắt \(Ot\) tại \(M\). Khi đó hai đường thẳng \(OA\) và \(OB\) có vị trí tương đối thế nào với đường tròn \((M; MA)\)?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Cho hai tiếp tuyến \(SA\) và \(SB\) của đường tròn \((O)\) (\(A, B\) là tiếp điểm) có độ dài \(SA = 7\text{ cm}\). Một tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với \((O)\) tại \(M\) trên cung nhỏ \(AB\) cắt \(SA\) tại \(E\) và cắt \(SB\) tại \(F\). Chu vi của tam giác \(SEF\) bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Trong bài toán Bài 5.23 SGK ở Câu 14: Giả sử điểm \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(SO\) với đường tròn \((O)\). Khẳng định nào sau đây là đúng về tam giác \(SEF\)?
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \((O; R)\), kẻ hai tiếp tuyến \(MA, MB\) sao cho tam giác \(MAB\) là tam giác đều. Khi đó khoảng cách \(OM\) bằng:
Mở Khóa Đáp Án & Lời Giải Dạng Toán Tương Tự 9+
Dạng bài toán tương tự & vận dụng nâng cao này giúp em nắm chắc phương pháp giải nhanh điểm 9+. Đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí chỉ trong 30 giây để bắt đầu giải bài!
Số điểm chung tối đa của hai đường tròn phân biệt là bao nhiêu?
Theo định lý hình học, hai đường tròn phân biệt chỉ có thể có:
- $0$ điểm chung (không giao nhau: ngoài nhau hoặc đựng nhau).
- $1$ điểm chung (tiếp xúc nhau: tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài).
- $2$ điểm chung (cắt nhau).
Do qua 3 điểm không thẳng hàng chỉ vẽ được duy nhất một đường tròn, nên nếu hai đường tròn có từ $3$ điểm chung trở lên thì chúng phải trùng nhau hoàn toàn.
Vậy số điểm chung tối đa của hai đường tròn phân biệt là $2$ điểm.
Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$. Gọi $d = OO'$ là khoảng cách giữa hai tâm. Hệ thức nào sau đây thể hiện hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau?
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi chúng có duy nhất một điểm chung nằm giữa hai tâm $O$ và $O'$. Khi đó khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính:
$OO' = R + R'$
Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ với $R > R'$. Gọi $d = OO'$ là khoảng cách giữa hai tâm. Hệ thức nào sau đây thể hiện hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau?
Hai đường tròn tiếp xúc trong khi chúng có duy nhất một điểm chung và đường tròn nhỏ nằm bên trong đường tròn lớn. Khi đó khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu hai bán kính:
$OO' = R - R' > 0$
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
Vì $OA = OB = R$ nên điểm $O$ thuộc đường trung trực của $AB$.
Vì $O'A = O'B = R'$ nên điểm $O'$ thuộc đường trung trực của $AB$.
Do đó, đường thẳng nối hai tâm $OO'$ chính là đường trung trực của dây chung $AB$ (vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$).
Cho hai điểm $O$ và $O'$ cách nhau một khoảng $5\text{ cm}$. Vị trí tương đối của đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ và đường tròn $(O'; 3\text{ cm})$ là:
Ta có $R = 3\text{ cm}$, $R' = 3\text{ cm}$ và $OO' = 5\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính: $|R - R'| = |3 - 3| = 0\text{ cm}$.
Tổng hai bán kính: $R + R' = 3 + 3 = 6\text{ cm}$.
Vì $0 < 5 < 6$, tức là $|R - R'| < OO' < R + R'$, nên hai đường tròn cắt nhau.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ cách nhau một khoảng $5\text{ cm}$. Vị trí tương đối của đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ và đường tròn $(O'; 1\text{ cm})$ là:
Ta có $R = 3\text{ cm}$, $R' = 1\text{ cm}$ và $OO' = 5\text{ cm}$.
Tổng hai bán kính: $R + R' = 3 + 1 = 4\text{ cm}$.
Vì $OO' = 5\text{ cm} > 4\text{ cm} = R + R'$ nên hai đường tròn ở ngoài nhau.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ cách nhau một khoảng $5\text{ cm}$. Vị trí tương đối của đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ và đường tròn $(O'; 8\text{ cm})$ là:
Ta có $R' = 8\text{ cm}$, $R = 3\text{ cm}$ và $OO' = 5\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính: $R' - R = 8 - 3 = 5\text{ cm}$.
Vì $OO' = 5\text{ cm} = R' - R$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và điểm $I$ cách $O$ một khoảng $2\text{ cm}$. Vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn $(I; 4\text{ cm})$ là:
Ta có $R = 5\text{ cm}$, $r = 4\text{ cm}$ và $OI = 2\text{ cm}$.
Hiệu hai bán kính: $R - r = 5 - 4 = 1\text{ cm}$.
Tổng hai bán kính: $R + r = 5 + 4 = 9\text{ cm}$.
Vì $1\text{ cm} < 2\text{ cm} < 9\text{ cm}$ ($R - r < OI < R + r$) nên hai đường tròn cắt nhau.
Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 3\text{ cm}$. Hai đường tròn $(O; 8\text{ cm})$ và $(O'; 5\text{ cm})$ có vị trí tương đối như thế nào?
Ta có $R = 8\text{ cm}$, $R' = 5\text{ cm}$ và $OO' = 3\text{ cm}$.
Vì $OO' = 3 = 8 - 5 = R - R'$ nên hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
Cho ba điểm thẳng hàng $O, A, O'$ sao cho $A$ nằm giữa $O$ và $O'$. Vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ là:
Vì $A$ nằm giữa $O$ và $O'$ nên ta có hệ thức độ dài:
$OO' = OA + O'A$
Khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính, do đó hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ tiếp xúc ngoài tại điểm $A$.
Cho ba điểm thẳng hàng $O, A, O'$ sao cho $O$ nằm giữa $A$ và $O'$. Vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ là:
Vì $O$ nằm giữa $A$ và $O'$ nên $O'A = O'O + OA$, suy ra:
$OO' = O'A - OA$
Vì bán kính đường tròn $(O')$ là $R' = O'A > OA = R$ và khoảng cách nối tâm bằng hiệu hai bán kính nên đường tròn $(O'; O'A)$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O; OA)$ tại $A$.